柯西不等式的证明方法总结 柯西不等式公式有哪些？

柯西不等式的证明方法总结

柯西不等式公式有哪些？

柯西不等式公式有哪些？

1、二维形式：
(a^2＋b^2)(c^2 d^2)≥(ac bd)^2
等号成立条件：adbc
2、三角形式：
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]
等号成立条件：adbc
3、向量形式：
|α||β|≥|α·β|，α(a1,a2,…,an)，β(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）
等号成立条件：β为零向量，或αλβ（λ∈R）。
4、一般形式：
(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1a2:b2…an:bn，或ai、bi均为零。

如何证明柯西施瓦茨不等式？

实内积空间的情形：注意到y 0时不等式显然成立，所以可假设 非零。对任意 ，可知 现在取值 ，代入後得到因此有复内积空间的情形证明类上。对任意 ，可知现在取值 ，代入後得到因此有

柯西不等式的推导和运用？

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。
求证：2/(a b) 2/(b c) 2/(c a)＞9/(a b c)
∵a
、b
、c
均为正数
∴为证结论正确，只需证：2(a b c)[1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]＞9
而2(a b c)(a b) (a c) (c b)
又9(1 1 1)^2
∴只需证：2(a b c)[1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]＝[(a b) (a c) (b c)][1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]≥(1 1 1)^29
又a、b
、c互不相等，故等号成立条件无法满足
∴原不等式成立

柯西不等式通俗易懂？

柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.
如：两列数
0,1
和
2,3
有
(0^2 1^2) * (2^2 3^2) 26 ≥ (0*2 1*3)^2 9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式.
还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式.
这里只给出前一种证法.
Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) ∑(ai x * bi)^2
(∑bi^2) * x^2 2 * (∑ai * bi) * x (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
Δ 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论