不等式证明的8种方法
均值不等式一般形式的证明？
均值不等式一般形式的证明？
均值不等式一般形式：agt0，bgt0，（a十b）/2≥根号ab，当且仅当ab时取等号。证明方法一（作差比较法）（a十b）/2一√ab（a b-2√ab）/2（√a一√b）^2/2≥0。所以（a十b）/2≥√ab。
方法二（利用分析法）欲证基本不等式，须证a^2十b^2十2ab≥4ab，即证a^2十b^2一2ab≥0，即只需要（a一b）^2≥0，这显然成立。所以基本不等式成立
杨氏不等式三种证明？
1.若b 0，不等式显然成立。
若b≠0， ,则该不等式变为
设 ， 时，f严格递增， 时，f严格递减，故f(t) f(1)1-t，得证。
2.如果agt0且bgt0，而数p,q满足：1/p 1/q1，那么
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a (1/q)*b，当pgt1
a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a (1/q)*b，当plt1
可以先证明：xgt0时，
x^α-αx α-1≤0，当0ltαlt1时；
x^α-αx α-1≥0，当αgt1时；
f(x)x^α-αx α-1
f#39(x)α[x^(α-1)-1],f#39(1)0
当0ltαlt1时
当x∈(0,1)f#39(x)gt0
当x∈(1, ∞)f#39(x)lt0
∴f(x)在x1处取最大值，又f(1)0，∴f(x)≤0
当αgt1时，
当x∈(0,1)时，f#39(x)lt0，
当x∈(1, ∞)时，f#39(x)gt0，
∴f(x)在x1处取最小值，又f(1)0，∴f(x)≥0
代入，xa/b,α1/p，得
f(a/b)(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b) 1/p-1
当pgt1时，即0ltαlt1：
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b) 1/p-1≤0
即(a/b)^(1/p)≤(1/p)*(a/b) 1/q
同时乘以b，得：
a^(1/p)*b^(1/q)≤(1/p)*a (1/q)*b
当plt1时，即αlt0(p1(0ltplt1)
(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b) 1/p-1≥0即(a/b)^(1/p)≥(1/p)*(a/b) 1/q
同时乘以b，得：a^(1/p)*b^(1/q)≥(1/p)*a (1/q)*b
证明2：令f（a）a^p/p b^q/q-ab，
f′（a）a^（p-1）-b
令f′（a）gt0，分2种情况
1、pgt1，agtb^（1/（p-1））
f（a）gtf（b^（1/（p-1）））0
即a^p/p b^q/qgtab
2、0ltplt1，altb^（1/（p-1））
f（a）ltf（b^（1/（p-1）））0
即a^p/p b^q/qltab
证毕。