因式分解拆项公式大全
拆项补项法因式分解例题？
拆项补项法因式分解例题？
多项式的因式分解有好几种方法：（1）提取公因式法，（2）分组分解法，（3）公式法，（4）拆项补项法，等。
下面就举一个拆项补项的例子。
例：把二次三项式：x的二次方一5x＋6分解因式。
解：x的二次方一5x＋6＝x的二次方一2x一3x＋6＝x（x一2）一3（x一2）＝（x一2）（x一3）
分解完毕。
这其中关键一步是把一5x拆成一2x和一3x两项，也可以说把一个三项式补成了四项式。然后又用分组和提公因式，才达到了分解因式的目的。
因式分解与合成公式？
因式分解常用公式
1、平方差公式：a2-b2(a b)(a-b)。
2、完全平方公式：a2 2ab b2(a b)2。
3、立方和公式：a3 b3(a b)(a2-ab b2)。
4、立方差公式：a3-b3(a-b)(a2 ab b2)。
5、完全立方和公式：a3 3a2b 3ab2 b3(a b)3。
6、完全立方差公式：a3-3a2b 3ab2-b3(a-b)3。
因式分解的四种方法？
步骤/方式1
因式分解是指把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程，分解过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。
步骤/方式2
不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组。不定方程的整数解，判定不定方程是否有解，判定不定方程的解的个数，计算方式不等式估算法是利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解。
步骤/方式3
解方程是求出方程中所有未知数的值的过程，解方程主要应用等式的性质，常见方法有估算法、合并同类项、移项、公式法、函数图像法等，使等式成立的未知数的值，称为方程的解，或方程的根。
步骤/方式4
十字相乘法。十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
跪求30道，因式分解，题目及答案？
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十字相乘法
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x a)(x b)x2 (a b)x ab的逆运算来进行因式分解。
如：
a2x2 ax-42
首先，我们看看第一个数，是a2，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a × ？）×(a × ？），
然后我们再看第二项， ax这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×-6。
(a×-7）×(a× 6）a2x2-ax-42(计算过程省略）
得到结果与原来结果不相符，原式 ax 变成了-ax。
再算：
(a× 7）×(a× (-6））a2x2 ax-42
正确，所以a2x2 ax-42就被分解成为(ax 7）×(ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。
公式法
公式法，即运用公式分解因式。
公式一般有
1、平方差公式a2-b2（a b）（a-b）
2、完全平方公式a2±2ab b2（a±b）2
3因式分解编辑
十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
注意四原则：
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2 xx(-3x 1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz
-x(2 3y 4z)
归纳方法：
1．提公因式法。
2．运用公式法。
3．拼凑法。
提取公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。
例如：
注意：把
变成
不叫提公因式
公式法
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
平方差公式：
反过来为
完全平方公式：
反过来为
反过来为
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式：
立方和公式：a3 b3(a b)(a2-ab b2)
立方差公式：a3-b3(a-b)(a2 ab b2)
完全立方公式：a3±3a2b 3ab2±b3(a±b)3
公式：a3 b3 c3-3abc(a b c)(a2 b2 c2-ab-bc-ca)
例如：a2 4ab 4b2 (a 2b)2
1．分解因式技巧掌握：
①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
2．提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式
（2）提公因式并确定另一个因式
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同
解方程法
通过解方程来进行因式分解，如：
X2 2X 10 ,解，得X1-1，X2-1，就得到原式（X 1）×（X 1）
4分解方法编辑
分组分解法
分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax ay bx by
a(x y) b(x y)
(a b)(x y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax ay bx by
x(a b) y(a b)
(a b)(x y)
几道例题：
1． 5ax 5bx 3ay 3by
解法：5x(a b) 3y(a b)(5x 3y)(a b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2． x2-x-y2-y
解法：(x2-y2)-(x y)
(x y)(x-y)-(x y)
(x y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2(a b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2
a^2-(b c)^2
(a-b-c)(a b c)
十字相乘法
十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2 (p q)x pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2 (p q)x pq(x p)(x q) ．
例1：x2-2x-8
(x-4)(x 2)
②kx2 mx n型的式子的因式分解
如果有kab，ncd，且有ad bcm时，那么kx2 mx n(ax c)(bx d)．
例2：分解7x2-19x-6
图示如下：a7 b1 c2 d-3
因为 -3×7-21，1×22，且-21 2-19，
所以，原式(7x 2)(x-3)．
十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
例3：6X2 7X 2
第1项二次项（6X2）拆分为：2×3
第3项常数项（2）拆分为：1×2
2（X） 3（X）
1 2
对角相乘：1×3 2×2得第2项一次项（7X）
纵向相乘，横向相加。
十字相乘法判定定理：若有式子ax2 bx c，若b2-4ac为完全平方数，则此式可以被十字相乘法分解。
与十字相乘法对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。
拆添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)
bc(c-a a b) ca(c-a)-ab(a b)
bc(c-a) bc(a b) ca(c-a)-ab(a b)
bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b)
(bc ca)(c-a) (bc-ab)(a b)
c(c-a)(b a) b(a b)(c-a)
(c b)(c-a)(a b)．
配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x2 3x-40
x2 3x 2.25-42.25
(x 1.5)2-(6.5)2
(x 8)(x-5)．
因式定理
对于多项式f(x)，如果f(a)0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)x2 5x 6，f(-2)0，则可确定x 2是x2 5x 6的一个因式。(事实上，x2 5x 6(x 2)(x 3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若Xq/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
2．对于多项式f(a)0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数
换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。
例如在分解(x2 x 1)(x2 x 2)-12时，可以令yx2 x,则
原式(y 1)(y 2)-12
y2 3y 2-12y2 3y-10
(y 5)(y-2)
(x2 x 5)(x2 x-2)
(x2 x 5)(x 2)(x-1)．
综合除法
令多项式f(x)0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x4 7x3-2x2-13x 6时，令2x4 7x3-2x2-13x 60，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x4 7x3-2x2-13x 6(2x-1)(x 3)(x 2)(x-1)．
令yf(x)，做出函数yf(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn ，则多项式可因式分解为f(x) f(x)a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
主元法
例如在分解x3 2x2-5x-6时，可以令yx3 2x2-5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x3 2x2-5x-6(x 1)(x 3)(x-2)
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
特殊值法
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x3 9x2 23x 15时，令x2，则
x3 9x2 23x 158 36 46 15105，
将105分解成3个质因数的积，即1053×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x 1，x 3，x 5，在x2时的值，
则x3 9x2 23x 15可能等于(x 1)(x 3)(x 5)，验证后的确如此。
待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x4-x3-5x2-6x-4(x2 ax b)(x2 cx d)
相关公式
x4 (a c)x3 (ac b d)x2 (ad bc)x bd
由此可得
a c-1，
ac b d-5，
ad bc-6，
bd-4．
解得a1，b1，c-2，d-4．
则x4-x3-5x2-6x-4(x2 x 1)(x2-2x-4)．
也可以参看右图。
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：
ax2 bxy cy2 dx ey f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x2 5xy 6y2 8x 18y 12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：图如下，把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
x 3y 6
∴原式(x 2y 2)(x 3y 6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2 5xy 6y2(x 2y)(x 3y)
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2 18y 12(2y 2)(3y 6)
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
④纵向相乘，横向相加。
二次多项式
（根与系数关系二次多项式因式分解）
例：对于二次多项式 aX2 bX c(a≠0)
.
当△b2-4ac≥0时，设aX2 bX c0的解为X1,X2
a(X2-(X1 X2)X X1X2)
a(X-X1)(X-X2).
5分解步骤编辑
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
6例题编辑
1．分解因式(1 y)2-2x2(1 y2) x4(1-y)2．
解：原式(1 y)2 2(1 y)x2(1-y) x4(1-y)2-2(1 y)x2(1-y)-2x2(1 y2)（补项）
[(1 y) x2(1-y)]2-2(1 y)x2(1-y)-2x2(1 y2)（完全平方）
[(1 y) x2(1-y)]2-(2x)2
[(1 y) x2(1-y) 2x][(1 y) x2(1-y)-2x]
(x2-x2y 2x y 1)(x^2-x2y-2x y 1)
[(x 1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
[(x 1)2-y(x 1)(x-1)][(x-1)2-y(x 1)(x-1)]
(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：
x5 3x4y-5x3y2-15x2y3 4xy4 12y5．
解：原式(x5 3x4y)-(5x3y2 15x2y3) (4xy4 12y5)
x4(x 3y)-5x2y2(x 3y) 4y4(x 3y)
(x 3y)(x4-5x2y2 4y4)
(x 3y)(x2-4y2)(x2-y2)
(x 3y)(x y)(x-y)(x 2y)(x-2y)．
当y0时，原式x5不等于33；当y不等于0时，x 3y，x y，x-y，x 2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2 a2 2ab-2bc0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵-c2 a2 2ab-2bc0，
∴(a c)(a-c) 2b(a-c)0．
∴(a-c)(a 2b c)0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a 2b cgt0．
∴a－c0，
即ac，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x2n×yn 18xn 2yn 1-6xn×yn-1分解因式。
解：-12x2n×yn 18xn 2yn 1-6xn×yn-1
-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2 1)．
7四个注意编辑
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。
例1 把-a2-b2 2ab 4分解因式。
解：-a2-b2 2ab 4-(a2-2ab b2-4）-[(a-b)2-4]-(a-b 2)(a-b-2)
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2 4y2(-3x)2-(2y)2(-3x 2y)(-3x-2y)(3x-2y)(3x 2y)的错误。
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2y2(4x4-5x2-9)y(x 1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x 3)(2x-3)。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。
8应用编辑
1． 应用于多项式除法。
：a(b?1)(ab 2b a)
说明：(ab b)2?(a b)2 (ab b a b)(ab b?a?b) (ab 2b a)(ab?a) a(b?1)(ab 2b a)．
2． 应用于高次方程的求根。
3． 应用于分式的通分与约分
顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：
1，p4r 3，如果8r 7也是素数，则：(8r 7)|(2P-1)。即（2p 1）|（2P-1）
例如：
23|(211-1)；114×2 3
47|(223-1)；234×5 3
167|(283-1),,,.834×20 3
2,p2n×32 1,，则（6p 1）|(2P-1)，
例如：223|(237-1)；372×2×3×3 1
439|(273-1)；732×2×2×3×3 1
3463|(2577-1)；5772×2×2×2×2×2×3×3 1
3，p2n×3m×5s-1,则（8p 1）|（2P-1）
例如；233|(229-1)；292×3×5-1
1433|(2179-1)；1792×2×3×3×5-1
1913|（2239-1）；2392×2×2×2×3×5-1
9分解公式编辑
平方差公式
(a b)(a-b)a2-b2
完全平方公式
(a b)2a2 2ab b2
(a-b)2a2-2ab b2
立方和（差）
两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。
即a3-b3(a-b)(a2 ab b2)
证明如下：（ a-b）3a3-3a2b 3ab2-b3
所以a3-b3(a-b)3-[-3(a2)b 3ab2](a-b)(a-b)2 3ab(a-b)
(a-b)(a2-2ab b2 3ab)(a-b)(a2 ab b2)
同理 a3 b3(a b)(a2-ab b2)
十字相乘公式
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。
(x a)(x b)x2 (a b)x ab
不知道需要什么难度的，所以还是答方法