梯度方向为什么是上升最快的方向 为什么梯度是最大变化率的方向？

梯度方向为什么是上升最快的方向

为什么梯度是最大变化率的方向？

为什么梯度是最大变化率的方向？

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

物理量梯度的方向？

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

大气水平运动的根本原因是？

热力环流是由于地面冷热不均而形成的空气环流，而热力环流是大气运动最简单的形式． 热力环流的过程为近地面温度高气体膨胀上升形成低压，高空形成高压；温度低气体收缩下沉形成高压，高空形成低压；大气在水平方向上从高压流向低压，从而形成热力环流．故大气运动的根本原因是地区间的冷热不均．故全球范围内的大气运动的根本原因是高低纬度间的温度差异．风是属于大气的水平运动．地面冷热不均形成水平气压差，继而形成水平气压梯度力，使大气在水平方向上由高压流向低压即为风，故形成风的直接原因是水平气压梯度力．故得知，引起大气运动的根本原因和形成风的直接原因分别是高低纬度间的温度差异；水平气压梯度力．故选：A．

高数，方向导数，请问这个方向余弦指的是什么，怎么求？

前面回答了很多关于几何直观的角度解释方向导数和梯度的，这里尝试从定义的角度直接解释。这里解释一下方向导数：直接从定义去解释，极限这里分母是在方向L上变化一段距离，分子是函数f在这段距离上相应的变化，相除就是自变量在方向L上变化一单位，相应的函数的变化量。
（类比一元函数的切线，x变化一单位，相应的函数y的变化量。
只不过函数的切线中，自变量只有一维，只能沿着x轴变化。
在上述定义给出的三维空间中，自变量有三个维度，我们可以任意变化x,y,z，这样的变化就是三维空间中的一个方向L）记住，这里的方向导数可以对三维中间中的任意一个方向求导数。
接下来给出梯度的定义从定义来看，梯度就是函数f在点 对各个维度求偏导数组成的向量。（这里没什么难的，我们就是把这样的向量叫作梯度）下面这个定理对弄清楚梯度和方向导数的关系有帮助。
这个定理给出的是和定义1不同的，方向导数的另一个表达。
我们尝试理解一下这个定理，我们任意给出三维空间中的一个方向L，那么我们就可以通过 余弦角度 给出这个方向L的一个单位向量。 这个单位向量就可以代表方向L。
再根据梯度的定义，那么这个定理就可以理解为，一个点 的方向导数就是梯度向量和方向L单位向量的乘积。
写出来就是根据向量乘法的几何直观 是两个向量之间的角度， , 是单位向量。0 altcosvarphi0 eeimg1/ 时， 的变化是正的，也就是f沿着L的方向是增长的， 时，变化率最大，也就是L的方向和梯度的夹角为0时，（我们之前说过方向导数可以是对三维空间中的任意一个方向求导数，这里我们令L的方向就是梯度的方向）f增长的最大，此时f在L上的方向导数取得最大值 时， 的变化是负的，也就是f沿着L的方向是递减的， 也就是L的方向和梯度的方向相反时（L这个方向是负梯度方向），f递减的最快，此时f在L上的方向导数取得最小值 根据上述解释，也印证了我们熟知的那句话：梯度方向是函数增长最快的方向，梯度向量相反的方向是函数下降最快的方向。