矩阵初等变换的几何意义
初等变换既然改变了特性有什么意义？
初等变换既然改变了特性有什么意义？
矩阵在初等行变换之后 元素的顺序都改变了 那么特征值当然不一样 而在求特征值的时候 已经把特征值的未知数λ设了进去 剩下的只是解方程，不会改变特征值
初等矩阵，什么意思，怎么用的？
单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵就是初等矩阵。对矩阵进行行初等变换，就是前乘相应的初等矩阵；对矩阵进行列初等变换，就是后乘相应的初等矩阵。
矩阵初等变换后是否相等？
矩阵经过初等变换后不是同一个矩阵。
初等变换除了不改变矩阵的秩，其他所有矩阵的特性都改了。不过得到的矩阵跟原来矩阵等价，但是并不是相同。
运用反证法也可以证明矩阵经过初等变换之后不是原来的矩阵了。并且任何矩阵都可以经过初等变换变成单位阵，如果等价的话，那所有矩阵不都是单位阵了。所以假设不成立。
两个矩阵相等是指：
1、两个对应矩阵要求同型 (行数与列数相同）
2、两个对应矩阵的对应位置的元素相等
3、两个矩阵的对应分量相同
为什么可用初等变换求逆？
就是对[A|I]进行初等变换，使其变成[I|B],则B就是A的逆矩阵。
原理是这样的：初等行变换相当于矩阵左乘一个可逆阵。举个例子：比如把A的第一行加到第二行，就是A左乘了一个可逆阵
1 0 0 ...0
1 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
那么对A进行一系列的行变换得到I，相当于左乘了一系列的可逆阵后得到I。把这些可逆阵乘在一起，就是PA＝I,那么P就是A的逆。所以当[A|I]中左边的A经过行变换得到I时，右边的I就经过相应的行变换得到了P。
为什么矩阵经过初等变换秩不变？
个复杂矩阵的秩一般一眼看不出来，比如题主给的矩阵，第一眼看上去似乎是满秩的，但其实不是，经初等变换后，化简成简单矩阵，才能看清矩阵的秩。
如果将矩阵看成，行向量组，或者列向量组，那么初等变换本质是这些向量加加减减，伸伸缩缩，换换位置，自然不改变这样向量的独立性。(不改变向量张成空间的维数，秩不变。)