抽象代数中二次扩张定义
一生二，二生三，三生万物，该怎么理解？
一生二，二生三，三生万物，该怎么理解？
谢谢老师邀答！
“道生一，一生二，二生三，三生万物。
”出自老子的《道德经》第四十二章，是老子的宇宙生成论。
这句话可以说是老子《道德经》中的核心思想，如果能理这句话，《道德经》习之过半矣。那么，这个“道”是什么？“一、二、三”又是什么呢？
老子认为“道”，是世间大道，可以派生出一切。他说：“道可道，非常道。名可名，非常名。无名天地之始，有名万物之母。故常无欲，以观其妙。常有欲，以观其窍。此两者同出而异名。同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。”
简言之，“道”是洞悉一切奥妙的门径。
老子在《道德经》第四十二章，接着说：“万物负阴而抱阳，冲气以为和。
”老子这句话，就解释了“一、二、三。”这几个摡念。
老子学说与《周易》学说，不谋而合。用《周易》理论来理解《道德经》，会很容易理解。老子的“一”，就是《周易》中的太极，“二”就是《周易》中“两仪”。老子的“三”，就是《周易》中的“四像”，“万物”即是《周易》中的“八卦”。
且看《周易》论述宇宙生成：“无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，八卦定吉凶，吉凶成大事。”
总之，大道至简。没有那些专家们讲的那么神密，那么复杂！
俄乌冲突真是北约东扩和美国拱火造成的吗？有俄罗斯自身因素吗？
持有这种想法很幼稚可笑，自普京执政以来谁敢欺负俄罗斯，人们将他冠以硬汉，大帝加以崇拜，北约和美国还真没有这个本事。
数学中是否存在一个数，通过其自身的运算来表示任何数（实数 虚数）？
有啊！
对于任何一个非零的数字（实数或复数）a，都有 a - a 0，a / a 1，然后 通过不断加 1 就得到 所有自然数：2 1 1，3 2 1， ... ，之后是两个自然数相减 就得到 所有整数 -1 0 - 1， -2 0 - 2， ...，之后是一个整数和一个非零整数相比 就得到 所有有理数 1/2，-1/2，1/3，-1/3，2/3，-2/3，...，之后是 在有理数集上 作戴德金分割 就得到了 所有实数，之后是在二维实向量上定义特殊的乘法：(a, b)(c, d) (ac - bd, ad bc)，并令 1 (1, 0), i (0, 1)，就得到了所有复数。
这说明，任何一个非零的数，都可以通过运算生成整个复数集。
实际上，数学中考虑的不仅仅生成所有数字，还需要构造运算，整个复数集及其上运算的构造过程如下：
自然数集 ω首先，由集合的并运算，定义后继运算：
a? a ∪ {a}
让零等于空集，即：
0 ?
于是，通过从零开始不断做后继运算，就得到整个自然数集合 ω（包括 零）：
1 0? 0 ∪ {0} ? ∪ {0} {0}
2 1? 1 ∪ {1} {0} ∪ {1} {0, 1}
3 2? 2 ∪ {2} {0, 1} ∪ {2} {0, 1, 2}
...
n (n-1)? {0, 1, ..., n-1}
...
在 ω 上用归纳法定义加法：
a 0 a
a b? (a b)?
以及乘法：
a 0 0
a b? (a a) b
和小于关系:
a lt b 当且仅当 a ∈ b
注： a gt b 就是 b lt a，是一种书写方式，不涉及本质。整数环 Z其次，由集合定义有序对：
lta, bgt {a, {a, b}}
自然数集 ω 上的 所有序对组成的集合 称为 笛卡尔积，记为 ω × ω：
ω × ω {lta, bgt | a, b ∈ ω }
在 ω × ω 规定等价关系 ∽（以下 a,b,c,d ∈ ω）：
lta, bgt ∽ ltc, dgt 当且仅当 a d b c
令 Z (ω × ω) / ∽，Z 就是整数集合，在其上定义：
加法：[lta, bgt] [ltc, dgt] [lta c, b dgt]
减法：[lta, bgt] - [ltc, dgt] [lta d, b cgt]
乘法：[lta, bgt] [ltc, dgt] [ltac bd, ad bcgt]
以及小于关系：
[lta, bgt] lt [ltc, dgt] 当且仅当 (a d) lt (c b)
注：数学中，将集合 A 上等价关系∽ 下的 所有等价类，称为 A 的商集，记为 A/∽。在 Z 中重新定义，ω 中的自然数符号：
0 [lt0, 0gt]
1 [lt1, 0gt]
...
n [ltn, 0gt]
...
并定义 负整数如下：
-a [lt0, agt]
有理数域 Q其三，令 Z* 为非零整数，即，
Z* Z {0} （0 ∈ Z）
在 Z × Z* 上定义等价关系 ≈（以下 a,b,c,d, 0, 1∈ Z）：
lta, bgt ≈ ltc, dgt 当且仅当 ad bc
令，Q (Z × Z*) / ≈，Q 就是有理数集合，在其上定义：
加减法：[lta, bgt] ± [ltc, dgt] [ltad ± bc, bdgt]
乘法：[lta, bgt] [ltc, dgt] [ltac, bdgt]
除法：[lta, bgt] / [ltc, dgt] [ltad, bcgt]
以及小于关系：
[lta, bgt] lt [ltc, dgt] 当前仅当
当 bd gt 0 时，ad lt bc；
当 bd lt 0 时，ad gt bc 。
在 Q 中重新定义，Z 中的所有整数符号：
a [lta, 1gt]，（a ... -2, -1, 0, 1, 2, ....）
实数域 R
其四，将有理数集合 Q 分割为两个非空集合 Q? 和 Q?，即：
Q Q? ∪ Q?
Q? ∩ Q? ?
使得 Q? 中的元素 均小于 Q? 中的所有元素，即， 对于 任意 a ∈ Q?，对于 所有 b ∈ Q?，有 a lt b；并且，规定 Q? 没有最大值，即，不存在 a ∈ Q? 使得对于所有 b ∈ Q? {a} 有 b lt a；我称这种分割为：戴德金分割，记为 Q?|Q?。
戴德金分割会有两种情况产生：
Q? 有最小值，即，存在 a ∈ Q? 使得对于所有 b ∈ Q? {a} 有 a lt b；
Q? 有没有最小值，即，不存在 a ∈ Q? 使得对于所有 b ∈ Q? {a} 有 a lt b；
第一种情况说明：分割刚好切在一个有理数上，它是 Q? 的最小值，这时 Q?|Q? 就表示 一个有理数；第二种情况说明：分割没有切在任何一个有理数上，于是只能是切在一个无理数上，这时 Q?|Q? 就表示 一个无理数。
每个 Q? 就是一个实数，所有的 Q? 组成全体实数集，记为 R。对于每个 Q 中的有理数 a，在 R 重新定义：
a {p ∈ Q | p lt a}
于是，0 { p ∈ Q | p lt 0 }。
在 R 中定义小于关系（以下 x, y ∈ R）：
x lt y 当且仅当 x ? y
另外，在 R 中定义：
加法：x y {a b | a ∈ x, b ∈ y}
负：-x {p ∈ Q | ? r ∈ Q, (-r ? x) ∧ (p lt r)}
乘 (xgt 0, y gt 0)：x y { pq | p ∈ x, q ∈ y, (p gt 0) ∧ (q gt 0) } ∪ {0} ∪ 0
逆 (x gt 0) : x?1 { 1/r | r ? x} ∪ {0} ∪ 0
进而定义：
减法： x - y x (-y)
乘法：x y x y 当 x gt 0, y gt 0 (-x) (-y) 当 x lt 0, y lt 0；-((-x) y) 当 x lt 0, y gt 0；-(x(-y)) 当 x gt 0, y lt 0
除法： x / y x y?1 当 y gt 0；x (-(-y)?1) 当 y lt 0
复数域 C最后，令 C R × R，并且在 C 上定义（以下 x, y, v, w ∈ R）：
加法：ltx, ygt ltv, wgt ltx v, y wgt
乘法：ltx, ygtltv, wgt ltxv - yw, xw ywgt
并规定：
x ltx, 0gt
i lt0, 1gt
则 C 就是全体复数的集合。
很容易推出：
xi ltx, 0gtlt0, 1gt ltx·0 - 0·1, x·1 0·0gt lt0, xgt
x yi ltx, 0gt lt0, ygt ltx, ygt
ii lt0, 1gtlt0, 1gt lt0·0 - 1·1, 0·1 1·0gt lt-1, 0gt -1
由于篇幅有限不能完全展开讨论，关于如何从集合构造算术系统的更详细论述请参考《公理集合论》。
（由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎题主和各位老师批评指正）