闭区间上的连续函数性质的证明
为什么是在闭区间上连续？
为什么是在闭区间上连续？
因为函数在闭区间上连续要求左端点右连续、右端点左连续；而函数可导则要求函数在一点的左右导数均存在且相等，若为闭区间，则只能验证左端点是否有右导数，右端点是否有左导数，故函数在闭区间的端点处不可导。
连续函数在闭区间为什么是有界的？
连续性要求当自变量逼近某个值是，函数值也逼近对应的极限。为了满足这点，在一个有限的邻域里，函数不可能变成无穷大，否则在那个区间里它不可能连续，因为你无法找到对应的极限
函数在闭区间连续，是不是一定有界？
在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。
定义应为函数设f(x)是区间E上的函数。若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。
高数题，闭区间上连续函数的性质？
令g（x）f（x）-x
因为在闭区间[a，b]上，f（x）和x都是连续函数，所以g（x）也是连续函数。
而g（a）f（a）-a＞0，g（b）f（b）-b＜0
根据零点存在定理：连续函数在闭区间的两个端点的函数值符号相反，那么在其区间内部必然有零点存在
所以至少存在一个ξ，满足g（ξ）0
即f（ξ）-ξ0
即f（ξ）ξ
一个函数可导，怎么证明它的导数连续？
证明:用反证法，设
lim (x趋于a) f(x) L，就是要证 L f(a)，那么我们先假设L f(a)。
如此一来，取L (L f(a)) / 2 f(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon (L-f(a))/2 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
| f(x) - L | L - epsilon L。
然后考虑在a点导数的定义:
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) f(a)，
考虑闭区间 [a,x] (或者 [x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的)，由于函数在该闭区间上连续，在开区间 (a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在 c 属于 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) f(c)，
接着，由于当x趋于a时， c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)(注意我的epsilon 和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间)，到那个时候，就总是有
f(c) L，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f(a) L f(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L