下凹区间是凸区间还是凹区间
函数凹凸性证明？
函数凹凸性证明？
函数的凹凸性
描述函数图像弯曲方向的性质
函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的一个重要性质，其应用也是多方面的。
基本信息
中文名
函数的凹凸性
外文名
Concavity
词性
名词
应用领域
数学
性质
凹凸性
介绍
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点和,和任意，都有
,
则称f为I上的凹函数.
凹凸性
若不等号严格成立，即“”号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果“换成“”就是凸函数。类似也有严格凸函数。
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
几何定义
这个定义从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如 凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是;在区间I上是凹函数的充要条件是;
不同说法
不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）
2、，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）
凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义
在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式，就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。
不等式
琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则(下凸);设f(x)为凹函数，(上凸),称为琴生不等式。
加权形式为：(下凸);(上凸),其中(),且[1]
为什么二阶导数能判断函数凹凸性？
一阶导数反映的是函数斜率，而二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。f′′(x)gt0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)lt0，开口向下，函数为凸函数。
凸凹性的直观理解：设函数yf(x)在区间I上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。
扩展资料
确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤：
1、确定函数yf(x)的定义域；
2、求出在二阶导数f#34(x)；
3、求出使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；
4、判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点。
函数凹凸性与二次导数有关
如果函数某点的一阶导数等于零
该点的二阶导数若大于0,则函数在该点是极小值,函数在该点附近是下凹的
若该点的二阶导数若小于0,则函数在该点是极大值,函数在该点附近是上凸的
若等于0,则该点为拐点
若函数的二阶导数恒大于0,函数是下凹的
若函数的二阶导数恒小于0,则函数上凸的
一阶导数反映的是函数斜率，而二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。f′′(x)gt0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)lt0，开口向下，函数为凸函数。
凸凹性的直观理解：设函数yf(x)在区间I上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二 一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f#39#39(x)（即二阶导数）gt0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x) f(y)≥2f[(x y)/2]，如果总有f#39#39(x)lt0成立，那么上式的不等号反向。
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f#39#39(x)（即二阶导数）gt0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。