线段的长可以为0吗
问大家一个问题：为什么点是没有长度的，线段是由点组成的，而线段是有长度的？
问大家一个问题：为什么点是没有长度的，线段是由点组成的，而线段是有长度的？
点是一个理想化的概念，所谓理想化概念意思是现实中并不存在这样的事物。线由一排点组成，那么组成线的点有多少个呢？答案是无限大。无限大又是一个理想化概念。你可以这么理解：一个点很小很小于是大小约等于零，点的个数很多很多于是刚好跟点的大小无穷小抵消了。所以，有了线。
这之中部分是微积分的概念，解释起来比较复杂我也只能用这么简单的方法说了。
用尺子量一条线段必须从0刻度开始量。对吗？
用尺子量一条线段不一定从0刻度开始量，从0开始量如果尺寸前端没有损坏，刻度准确，可以从0开始量，这样更直观。如果不从0开始，在量后要减掉前面的尺寸，才是真实的量的尺寸。所以用尺子量一条线段必须从0量起的说法不准确。
在直线上表示正数、0和负数？
答这样在直线上表示正数、0和负数就是:首先把直线改成数轴。怎么改？
这样改，首先在直线上取一点，就是点0。然后在直线上，以点0为中心，且定点0为原点。
最后再在直线上标出(原点为0，原点右边的点为正数，并越往右，正数越大。原点左边的点为负数，并越往左，负数越小)。从此，这根直线就变成一根数轴。这就是在直线上表示正数、0和负数的方法。
在数学中，没有长度的点可以组成有长度的线段，这是否包涵矛盾？
（小石头尝试着回答这个问题）
回答：这并不矛盾！ 下面是详细分析。
在几何中，任何直线的性质都是一样的。于是，任取一根直线，为了区分其上的点，我们将每一个点和一个实数对应起来，这样就形成了（实）数轴。进而，自然而然，数轴上的一个线段，就对应 一个实数区间。
如此以来，题主问题里，所谓没有长度的点，翻译成数学语言就是：
在数轴中任取一个点 x 对其长度进行测量，得到的长度 为 0；
所谓 有长度的线段，翻译成数学语言就是：
在数轴中任取一个区间 [a, b] 对其长度进行测量，得到的长度不为零；
以上的关键，是我们有一个可以测量 点 和 区间 长度 的 工具，记为 μ。一个点 x 其实是一种特殊的区间 [x, x]，于是 μ 其实只要可以测量 区间的长度就行，即，任意给定 数轴上的 一个 区间 [a, b]，通过 μ 会可以得到 一个 长度，显然 μ 是一个以为区间为参数的 函数，可以定义如下：
μ([a, b]) b - a
对于，任意一个点 x，有：
μ(x) μ([x, x]) x - x 0
这符合一个点长度为 0 的要求。
另外，只有稍微对 μ 进行升级，我们也可以对 多段 独立的区间进行 测量：
μ([a?, b?] [a?, b?] ... ) b? - a? b? - a? ...
其中 区间 [a?, b?]， [a?, d?]， ... 两两不相交。 升级后的 μ 称为 测度。
接下来，仔细观察 测度 μ ，就会发现它有两个特性：
μ 的值 总是 大于等于 0；
对于任意一列 相互独立的 区间 [a?, b?]， [a?, d?]， ...，有：μ([a?, b?] [a?, b?] ...) b? - a? b? - a? ... μ([a?, b?]) μ([a?, b?]) ...
实际上，只要符合上面 特性的 函数 都可以称为 测度。测度不仅仅是测量 区间（线段）长度，也可以是 测量 图形的面积、几何体的体积、物体的质量、 等。
测度的第一个特性称为 非负性，和问题关系不大，而 第二个特性称为 可列可加性，是问题的关键。
所谓“可列可加性”翻译成白话就是：对于一列的相互独立的区间，它们加起来的总长度等于各区间长度之和。
现实中，这是我们再熟悉不过的常识了：
将多个线段接起来，总线段的长度一定是各个线段长度之和；
将水和盐混合成盐水，盐水的质量 一定 是 水的 质量 加 盐的 质量；
积木搭建的建筑物的总体积，一定是所有积木体积之和；
也正因为题主有了这种常识，所以才提出本问题。问题翻译成数学语言为：设，非单点区间 [a, b] (a lt b) 是由 点 a, x?, x?, ..., b 组成，即，
[a, b] [a, a] [x?, x?] [x?, x?] ... [b, b] ①
于是，根据测度的可列可加性有：
μ([a, b]) μ([a, a] [x?, x?] [x?, x?] ... [b, b]) μ(a) μ(x?) μ(x?) ... μ(b) 0 0 ... ０ 0
可以 根据测度的定义又有：
μ([a, b]) b - a gt 0
矛盾。
其实并不矛盾！这里的关键是 等式 ① 是不成立的。虽然 序列 a, x?, x?, ..., b 和 区间 [a, b] 都包括了 无穷多个点，但是 无穷多和无穷多 不一定一样。实际上， 一个区间 中包括的点 比一个序列 还多，多到无将这些点 排成一个列。由于 区间中的点 不能排成一列，于是 可列可加性 对于 区间中的点的组合 就无效了。
康拓儿 最早研究了 无穷集合 元素个数的问题：如果我们 可以找到 两个集合之间的 一个 一一对应的关系，则 这两个集合 的 元素个数 就相等。同时，康拓儿也最早证明了 (0, 1) 中点 比 自然数序列 中的点 多。
我们可以将自然数排成一列：
0, 1, 2, ....
于是和自然数一样多的集合中的元素 也都可以 排成 一列，称它们为 可列；而像区间这种 比 自然数多的，称为 不可列。
从另一角度看，我们知道 [a, b] 对应的线段是连续的，也就是说线段中不存在缝隙，我们无法再向 线段中 插入一个新的点。假如 我们可以将 [a, b] 中的点 排成一列，则就意味着我们可以 以 插队 的方式，向队列中，插入一个 新的点，这显然和 线段 不能插入新点的特性 矛盾。
结论：
只有可列个点的组合的长度才是零，不可列个点可以组成任意长度的线段。
估计看到这里的条朋友，很多依然不能 从直觉上 接受这个数学事实，我想那是因为，日常生活中，根本没有长度为 0 的点，所有这方面 大家的直觉是失灵的。