直角坐标下的二重积分计算例题
二重积分体积计算公式？
二重积分体积计算公式？
二重积分的几何意义就是体积，求二重积分实质上就是求体积。其中积分区域就是曲顶柱体的底面积，被积函数就是曲顶柱体的高。高数下册课本第138就有二重积分的几何意义，可以参考看一下。求法大概有三种，直角坐标系下先对x积分再对y积分，或者先对y积分再对x积分，或者用极坐标计算。
用S来代替积分号
VSS f(x,y)dxdy 在积分号下面还有一个D（x,y)表示f(x,y)在xoy面上的投影!
其实就是相当于长方体的体积一样,底是dx * dy ,高是f(x,y),只不过高是不规则的而已!
二重积分定义的证明？
二重积分的概念
Weierstrass函数证明了存在函数处处连续处处不可导。
与定积分概念密切相连：分割，求和，取极限。
分划成为网状分割，每个交点处横截
横截性：函数在P点横截，如果两个切线方程的线性子空间的维数等于2。
模仿定积分，给出二重积分的定义。如果记λmax{Di的直径}
事实：
有界闭区域上连续的二元函数是可积的。
有界闭区间上分片有界连续函数可积。
性质：
线性空间的性质。
积分区域可加。
不等式保序。
特例|?f(x,y)dσ|≤?|f(x,y)|dσ
积分中值定理
重（二重）积分的计算
原则：把二重积分化成累次积分。
直角坐标系下的计算
先积x，y中更整齐的那一维。
先积那一维取决于简便性（菱形例）
我们可以利用累次积分的思路解决复杂定积分的问题。
例 换一个维度进行二重积分，从而把其中的ey2可以先看成常数，便于操作。
I∫b0dx∫axey2dy?Dey2dxdy∫a0dy∫y0ey2dx∫a0ey2ydy
然后就可以凑微分
极坐标系下的计算
引入：为了解决高斯积分
适合用二重积分解决的三种典型模型
环形，不规则星形，极点在边界曲线上。（有曲边，能由这几类问题组合而成）
例 由yx,y2x,x2 y24x,x2 y28x围成的面积。
不适合用极坐标的例子
边界非常直的问题（直线的极坐标方程都相对繁琐）。
例 由yx,y0,x1围成的面积
积分区域和被积函数的取舍？
整洁的区域和优美的函数只能选择一个
例 I?Ddxdy(a2 x2 y2)32D{(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a}主要矛盾是相对复杂的表达式与有限的计算能力的矛盾。化成极坐标方程下求解。
高斯积分的求解
三重积分
两种求解思路：
先定(x,y)求z坐标区间（外层二重积分）。
先定x坐标，切出一系列平面（内层二重积分）。
对换与轮换
几种坐标变换：
柱坐标（每个面都极坐标）、球坐标（进一步吸纳极坐标只有一个长度量的特性）、一般变换（雅可比式）。
重积分的应用
二重积分：面积，曲顶柱体的体积。
三重积分：体积，两曲面之间的体积。
椭圆型的积分
椭圆型的积分，不采取从负到正的积分限（如果出现这种情况，一般可以直接使用椭圆面积公式，或者是想错了）
通常可以使用广义极坐标变换，这使得极径的上下限极其简明。
轮换
求解重积分时的轮换只能解决类似表达式不复求的问题（比如求柱体转动惯量的x,y分量时）。
与之相较，曲线曲面积分是由等式所决定的，在区域对函数来讲高度对称的时候，使用轮换方法可以化简求解式，从而大大降低复杂度。
例球面x2 y2 z2a2和平面x y z0的交曲线，若要求∫Lx2ds可以利用13a2ds来考虑