证明a1可由a2a3线性表示
什么向量组可表示任意三维向量？
什么向量组可表示任意三维向量？
a1,a2,a3线性无关就是一个成为一个三维线性无关组,任何一个三维向量都可以由三维线性无关组线形表示。
例如任意3维列向量都可以由3个线性无关的向量(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T线性表示。换成任意指定的3个线性无关的向量α1，α2，α3也行。由于任意4个3维向量一定线性相关，即α1，α2，α3，β线性相关，根据定理，β一定可由α1，α2，α3线性表示，且表示方法唯一。
a1a2a3线性无关满足什么关系？
向量组中的向量a1a2a3三者如果是线性无关的，即无法通过线性变换消去某个，那么向量组就是满秩的即向量组的秩为3。
向量组是由一组向量构成的，如向量组A：a1,a2,a3,…,am.其中a1,a2,a3,…,am均为向量。
向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）R（B）R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。
向量组a1，a2，a3线性无关，向量，能由向量组a1，a2，a3线性表示，k是否线性相关？
（1）向量组a2,a3,a4线性无关,说明a2,a3,也线性无关；又因为向量组a1,a2,a3线性相关,所以a1能由a2,a3线性表示（2）假如a4能由a1,a2,a3线性表示,则由于a1能由a2,a3线性表示得到a4能由a2,a3线性表示,从而a2,a3,a4线性相关,与已知矛盾,所以a4不能由a1,a2,a3线性表示如果基础不太好,可以看看下面的答案,关于第一个问的,我引用的由已知说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关；即存在不全为0的4个数k1,k2,k3,k4使得k1*a1 k2*a2 k3*a3 k4*a40(k1,k2,k3,k4为系数)又因为a4不能由a1,a2,a3线性表示,所以不存在如下的等式关系：a4c1*a1 c2*a2 c3*a3(c1,c2,c3为系数)由上面第一个等式知：k1*a1 k2*a2 k3*a3 k4*a40由上面第二条件知：a4c1*a1 c2*a2 c3*a3（不成立）从第一个等式中知要使第二个条件成立,只有k40;如果k4≠0的话,那么经过移项,可变成a4c1*a1 c2*a2 c3*a3,这就产生了矛盾.故在第1式中只有k40;这样就有k1*a1 k2*a2 k3*a3＝0；(k1,k2,k3不全为0),故向量组a1a2a3线性相关