怎么判断某阶行列式项的正负
如何用逆序数判断行列式项的正负？
如何用逆序数判断行列式项的正负？
各元素行标顺次排列（由小到大），项的正负由列标排列的【逆序数】决定——奇负偶正。
例如，某项的元素组合为 a33a41a25a54a12 ，要判断这个（组合）的正负，先把元素重新排列 a12a25a33a41a54 ，然后计算列标排列的逆序数 N(25314)1 3 1 0 05 为奇数，所以这一项为负。
【也可以分别计算行排列和列排列的逆序数，然后加起来，结果也是一样。】
行列式乘积项的符号怎么快速确定？
行列式的符号只能通过最后的结果确定正负，但是行列式展开式中某一项的符号可以按照行排序后，求出列的逆序数，如果是偶数则为正，否则为负，行列式按某一行展开的时候，其系数的符号也是根据所在行号和列号的和觉得正负，偶数为正，奇数为负。 每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
n阶行列式中，逆序数有什么用？怎么看怎么用啊？
逆序数是决定带 /-号的。先简单讲一下逆序和逆序数，比如(3,2,1)的逆序有三个(3,2),(3,1),(2,1)，逆序数就是1 1 13。
行列式最原始的就是用逆序数表示，取不同行不同列的元素，元素的前面正负号由他们的逆序数表示。
设|A||a11 a12… a1n
a21 a22…a2n
… … …
an1 an2… ann|
则|A|Σ(-1)^τ(j1,j2…jn)a1j1a2j2…anjn(j为列标)
根据此定义可求得此题答案为：
|A|(-1)^τ(n,n-1…2,1)λ1λ2…λn
因为τ(n，n-1，… ，2，1)(n-1) (n-2) … 1n(n-1)/2，所以|A|(-1)^n(n-1)λ1…λn
a和-a的秩一样吗？
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或
。
m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1.在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2.A(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在rmin(m,n)时，A中所有的r 1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)0。
由行列式的性质知，矩阵A的转置A的秩与A的秩是一样的，即rank(A)rank(A)。
矩阵的秩
定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。
定理：矩阵的乘积的秩
min{Ra,Rb};
引理：设矩阵A(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
当r(A)n-2时，最高阶非零子式的阶数n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)n-1时，最高阶非零子式的阶数n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
变化规律
(1)转置后秩不变
(2)r(A)min(m,n),A是m*n型矩阵
(3)r(kA)r(A),k不等于0
(4)r(A)0 A0
(5)r(A B)r(A) r(B)
(6)r(AB)min(r(A),r(B))
(7)r(A) r(B)-nr(AB)
证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB) nr(第一个矩阵)r(最后一个矩阵)r(A) r(B)
即r(A) r(B)-nr(AB)
注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。
特别的：A:m*n,B:n*s,AB0 - r(A) r(B)n
(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)r(A)r(AQ)r(PAQ)