矩阵的对角化计算方法和例子 线性代数：矩阵相似和对角化？

矩阵的对角化计算方法和例子

线性代数：矩阵相似和对角化？

线性代数：矩阵相似和对角化？

对角化和相似对角化是没有区别的，取对角化矩阵的时候，在满足特征值分别可取与原矩阵阶数相同的特征向量时，该对角矩阵即与原矩阵相似，所以说这两个其实是同一件事的不同说法。
相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，
这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式，一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。
向左转|向右转
扩展资料：
对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵
向左转|向右转
，
如果对于
向左转|向右转
，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵
向左转|向右转
，使
向左转|向右转
的结果为对角矩阵，则称矩阵
向左转|向右转
将矩阵
向左转|向右转
对角化。
对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。
矩阵相似于对角矩阵的条件
充要条件
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
证明过程：
（1）必要性。
设有可逆矩阵P，使得
向左转|向右转
令矩阵P的n个列向量为
向左转|向右转
，则有
向左转|向右转
因而
向左转|向右转
，因为P为可逆矩阵，所以
为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值
的特征向量。

如何判断一个矩阵是否可对角化？

n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。
设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使MPDP-1。
设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。