如何证明什么是数域
如何证明任一数域都包含有理数域？
如何证明任一数域都包含有理数域？
所谓数域，需要满足两个条件，1.包含0和1；
2.对四则运算满足封闭性（除数不为0）。 由于1属于数域，由加法封闭性可知任意正整数n也属于该数域，又因为0属于该数域，由减法封闭性可知任意负整数-n0-n也属于该数域，于是任意整数属于该数域，再根据除法封闭性可知任意两个整数之比也属于该数域，所以任意有理数属于该数域。
因此，有理数域是最小的数域，任意数域都包含它
不变子空间的判定？
不变子空间亦称稳定子空间，又称平凡子空间，与线性变换有关的一种子空间。设σ是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，若对W中的任意一个向量α，σ(α)也属于W，则称W是σ的不变子空间或称σ子空间。σ的值域与核以及σ的特征子空间等都是σ的不变子空间，有限维的复线性空间的所有的线性变换都有一维不变子空间。
如何证明有限维赋范线性空间的所有范数等价？
(应邀回答)
在 关于 数域 K 的 线性空间 X 上，定义的实值函数 ‖·‖ : X → R，如果满足：
正定性：对于任意 x ∈ X 有 ‖x‖ ≥ 0，并且 ‖x‖ 0 当且仅当 x 0；
三角不等式：对于任意 x, y ∈ X 有 ‖x y‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖；
齐次性：对于x ∈ X，λ ∈ K，有 ‖λx‖ |λ|‖x‖；
则称 ‖·‖ 为范数，有了范数的 线性空间 称为 赋范空间。
例如，在 n 维向量空间 K? 中，对于任意 向量 x (x?, x?, ..., x_n) ∈ K?，定义范数：
称为 p 范数，对于 p 取不同的值 1, 2, ...，都有一个对应的范数 ‖·‖?，‖·‖?, ... 。
这个例子说明，同一个线性空间上可以有不同的范数。那么大家自然会思考，这些范数之间是否有共同特性呢？
当然，人们最早发现的是，可以通过 范数 轻松的 定义 距离函数：
我们，很方便验证这个定义的良性（即，符合 距离函数 的 三大条件：正定性、对称性、三角不等式），如此以来 赋范空间 也就是 度量空间。于是，自然可以将 度量空间 中的 序列收敛性 引入 赋范空间：
序列 {x_n} 的收敛性（称为 依范数收敛）：
接着，就可以利用 序列的收敛性对 范数进行分类了，具体方法如下：
对于 赋范空间 X 上的 任意 两个 范数 ‖·‖_a，‖·‖_b，如果 对于任意 序列 {x_n} 只要 在 ‖·‖_a 下收敛，则必然在 ‖·‖_b下收敛，即，
当 n → ∞ 时，有 ‖x_n‖_a → 0 ? ‖x_n‖_b → 0，
我们 则 称 ‖·‖_a 强于 ‖·‖_b。
注意：只需要满足 序列收敛于 0 的情况，就等于满足了 序列收敛于任意 向量 a 的情况。
如果 ‖·‖_a 强于 ‖·‖_b 并且 ‖·‖_b 强于 ‖·‖_a，则 称 ‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等价。
当然这个 范数等价的 定义是很难被使用的，幸运的是我们发现： 在赋范空间 X 中 ‖·‖_a 强于 ‖·‖_b 当且仅当 可以找到 正实数 c gt 0，使得 对于任意 x ∈ X 不等式
恒成立。这样相当于 存在 正实数 c‘ 1/c ，满足不等式 c‖x‖_b ≤ ‖x‖_a。
于是，‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等价 当且仅当 存在 c?, c? gt 0 , 使得 对于任意 x ∈ X 满足不等式：
接着，我们就可以利用这个判别方法，来证明：数域 K 上 的 n 维度赋范空间 X 中，所有范数都等价。
首先，我们在 X 中选择，一组基 {e?, e?, ..., e_n}，则对于 X 中的任意向量 x 可以 唯一的表示为 :
也就是说，存在一个 一一对应的 双射 f: X → K?
于是 利用 根据前面 K? 的 p 范数，可以定义 X 上的范数：
而对于 任意 X 上的 范数 ‖·‖ ，根据 范数的 三角不等式 和 齐次性，有：
到这里，我们需要引入一个重要不等式，Cauchy 不等式： 对于任意两个实数序列 {a_n} 和 {b_n} 恒有：
Cauchy 不等式 可以变形为：
于是，有：
令，
最终，我们得到不等式：
这就证明了 ‖·‖_f 强于 任意 范数 ‖·‖，接着证明另外一半。
利用 f 的可逆性，对于任意 X 上的 范数 ‖·‖， 我们可以定义相关的 K? 上的函数 g: K? → R，如下：
同时，我们 利用 ‖·‖? 在 K? 中还可以定义一个单位球面：
由于，由于 基 线性无关，而 S 上的点 不可能 x?, x?, ..., x_n 全 0，于是该点对应的 向量 x 不是零向量，故有：
另外，因为，
故，
这说明，g 还是连续函数。
而，我们知道 通过度量空间 的度量函数 可以诱导出 度量拓扑，从而 使得 度量空间 成为 拓扑空间。所以 g 也是 拓扑空间 K? 到 R 的连续函数。
可以证明，球面 S 在 K? 中 是 紧致子集。然后，根据拓扑学中的性质：
紧致子集 在 连续函数 下的 像 也是 紧致子集。
可以得出 g(S) 是 R 中的紧致子集。然后，再根据，实数 重要性质：
实数的 紧致子集 必然 闭有界。
可以得出，存在 c? ∈ R 是 g(S) 的下确界，即：
而 上面已经证明了，g 在 S 上 大于 0，于是 c? gt 0。
对于，任意 x ∈ X 令，
则，
于是有，
最后得到：
即， 任意 范数 ‖·‖ 也 强于 ‖·‖_f 。
综上，就在证明了 任意 范数 ‖·‖ 和 ‖·‖_f 等价。
而 对于 X 上的 任意两个 范数 ‖·‖_a 和 ‖·‖_b ，由于 ‖·‖_a 和 ‖·‖_f 等价 并且 ‖·‖_f 和 ‖·‖_b 等价 ，根据等价关系 的传递性，可以得出：‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等价。
问题得证。
这个问题是《泛函分析》中有限维赋范空间的重要性质。证明的前半部分，非常简单。而后半部分因为涉及到《一般拓扑学》的一些性质，所以，我写的比较详细。
证明中，用到的性质 和 定理，因篇幅关系 我没有给出 证明，有兴趣可以参考相关文献。
（由于本人数学水平有限，难免出错，欢迎各位老师批评指正。）