通俗理解聚点定理
证明：有界数列存在收敛的子列？
证明：有界数列存在收敛的子列？
聚点定理：任意有界无穷数集至少有一个聚点。对此数列，若有无穷多个相同的项，则此以这些相同的项构成的数列的为该数列的收敛子列。
若没有无穷多个相同的项，则该数列的每一个元素作为集合S的一个元素。
由聚点定理知集合s必有一个聚点。从s中找出相应的项组成的数列就为该数列的收敛子列。证毕。
实数基本定理？
实数公理
戴维·希尔伯特提出的定义
定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（gt）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理。由这些公理可以推出实数的一切性质。
概述
实数公理是在集合论发展的基础上，由希尔伯特于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进，逐步演变为现在的公理系统。实数公理来源于实数理论的研究，实数理论包括对实数的结构，运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。
为什么有界无穷点集一定有聚点？
聚点原理(accumulative point principle)亦称外尔斯特拉斯定理，或波尔查诺-外尔斯特拉斯定理，刻画实数系R的连续性的常用命题之一。它断言：R(R或度量空间)的每个有界无穷子集至少有一个聚点。它是外尔斯特拉斯(K.(T.W.).Weierstrass)于1860年得到的，在他的证明中采用了波尔查诺(Bolzano，B.)首创的对分法 。
高等数学中的聚点到底啥意思，通俗点解释，有什么作用？
聚点是拓扑空间的基本概念之一。设A为拓扑空间X的子集，a∈X，若a的任意邻域都含有异于a的A中的点，则称a是A的聚点。集合A的所有聚点的集合称为A的导集，聚点和导集等概念是康托尔(Cantor，G.(F.P.))研究欧几里得空间的子集时首先提出的。
海恩-波莱尔定理（Heine-Borel）假设E为有界闭集，且对E内每一点z都作一个以这一点为圆心的圆域 (这个圆的半径没有限制，它可以取任意正实数)，则在这些圆中必可以找到有限多个来把有界闭集E复盖住，换句话说，E的每一点至少属于这有限个圆域中的一个圆域的内部。此定理又叫做有限复盖定理，它是复变函数论里的重要定理。
扩展资料
聚点x是x的任意领域内都有无穷多个点，边界点是聚点，但聚点不一定是边界点。
通俗地，对于数轴上点集E的聚点P，总可以在E中找到一个无穷数列a(n)（不等于P），使得lima(n）P，又举例来说，空间中一个球体的内部以及表面上的任何一个点都是该球体的聚点。
对于有限点集，是不存在聚点的。聚点可以是E中的点，也可以不属于E。
参考资料：