二元函数的连续性到底怎么证明
二元函数分段函数的连续性？
二元函数分段函数的连续性？
分段函数在整个定义域范围内不会连续。
一元二次如何证明函数在某处可微？
具体证明步骤如下：
证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：
若zf(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则zf(x,y)在点M可微。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0θ,θ1,α0,
△zf(x △x,y △y)-f(x,y)
[f(x △x,y △y)-f(x,y △y)] [f(x,y △y)-f(x y)]
f(x θ△x,y △y)△x f(x,y θ△y)△y
[f(x,y) α]△x [f(x,y) β]△y
f(x,y)△x f(x,y)△y α△x β△y
而||≤|α| |β|,
所以△zf(x,y)△x-f(x,y)△y o(ρ),即f(x,y)在点M可微。
注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。
例如:f(x,y)(x y)sin (x y≠0)0 (x y0),
因为f(0,0)0,同理:f(0,0)0,所以f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。
又f(x,y)2xsin (x y)cos(x y≠0)0 (x y0)
所以f(x,y)(2xsin-cos),
其中2xsin0,
而 cos中,若取路径yx,
显然coscos不存在,所以f(x,y)不存在。
因此f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。
而 (△x △y)sin0,所以f(x,y)在(0,0)点可微。
扩展资料：
设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作zf(x,y);全体函数值的集合称为f的值域。
设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)(x0 △x,y0 △y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:
△zf(x0 △x,y △y)-f(x0,y0)A△x B△y o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ〔(△x)^2 (△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。则称f在P0点可微。