怎么判断稳定点是不是极值点
at图像拐点的意义？
at图像拐点的意义？
是事物发展过程中运行趋势或运行速率的变化。 在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点！！
当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。 在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落，——这句话是错的，这是极值点、稳定点或者叫驻点； 所以，有了经济的拐点，放低长的拐点，以及股市的拐点。 TJ涛注解： 若函数yf(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数yf(x)的拐点。
另外，如果c是拐点，必然有f(c)0；反之则不成立；比如，f(x)x^4，有f(0)0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)x^4的拐点。
二元一次函数的极值点？
二元函数 是 z f ( x, y ) ， 或者 f ( x, y, z ) 0 ，
比如， z f ( x, y ) ， 有 2 个 自变量 x, y， 有 1 个 因变量 y， 这是 二元函数 。
或者， f ( x, y, z ) 0 ， 这种， 跟 z f ( x, y ) 也 差不多， 可以叫 二元隐函数 。
不过 ， f ( x, y, z ) 0 是 一个方程， 和 x, y 对应 的 z 可能 不止一个， 这是 和 z f ( x, y ) 的 区别 。
比如 ， 球面 x 2 y 2 z 2 r 2 , r 为常量 ， 是一个 方程， 也是 隐函数 。
z 根号 ( r2 - x 2 - y 2 ) 就是 半个球面， 另外 半个球面 是 z - 根号 ( r 2 - x 2 - y 2 ) 。
总之呢， 把 ( x, y ) 的 集合 看作 p 的 集合， p 是一个 ( x, y, 0 ) 处 的 点， 0 是 z 坐标 。
z f ( x, y ) 可以看作 写成 z f ( p ) ，
给 p 指定 一个 定义域， 这个 定义域 是 xy 平面 上 的 一个 区域， 也 可以说 是 一个 平面图形，
则 在 定义域 内， z f ( p ) 的 极值点 在哪里， 有几个 ？
z f ( p ) 是 定义域 上方（下方） 的 曲面， 极值点 就是 曲面 上 的 峰顶 和 谷底 。
这个 问题 也和 霍奇猜想 有关 。
z f ( p ) 的 定义域 是 二维平面 上 的 一个 区域， 这种 函数 称为 二维自变量 函数 。 这种 函数 的 自变量 是一个 元组 ( x, y ) ， p ( x, y ) 。
同理， 可以有 三维自变量 函数， 比如 a f ( p ) , p ( x, y, z ) 。
还可以有 四维自变量函数， 五维自变量函数， …… ， n 维自变量函数 。
z f ( p ) 是 一个 二维自变量函数， 也是 一个 二元函数， 用哪个叫法都可以 。
z f ( p ) 是 三维坐标系 里 的 一个 曲面， 可以想象， 以 xy 平面 为 “底面”， 曲面 在 z 方向上 高低起伏， 就像是 喀斯特地貌 上 的 一个个 小山峰， 这些 小山峰 的 顶点 就是 极值点 。
用 直观 和 逻辑 分析一下， 可以知道， 作一些 平面， 垂直于 xy 平面， 这些 平面 过 小山峰 的 顶点 和 曲面 相交， 得到 的 相交线 称为 垂面交线， 垂面交线 也是 函数曲线 。 对于 每条 垂面交线， 小山峰 的 顶点 就是 垂面交线 的 极值点 。
即， 曲面 的 极值点 也是 过 该 极值点 的 每一条 垂面交线 的 极值点 。
进一步， 可以发现， 如果 曲面 上 的 一点 不是 极值点， 则 过 该点 任意 取 两条 垂面交线， 该点 必然 不会同时 是 这两条 垂面交线 的 极值点 。
反过来， 可以说， 过 曲面 上 的 一点 取 任意 两条 垂面交线， 若 该点 对 两条 垂面交线 都是 极值点， 则 该点 是 曲面 的 极值点 。
也可以说， 过 曲面 上 的 一点 取 任意 两条 垂面交线， 若 该点 是 两条 垂面交线 的 极值点， 则 该点 是 曲面 的 极值点 。
这可以 称为 二元函数极值定理 。
二元函数极值定理 表示 曲面 上 两条 垂面交线 可以 决定 曲面 的 极值点， 曲面 上 两条 垂面交线 相交， 若 交点 是 两条 垂面交线 的 极值点， 则 交点 是 曲面 的 极值点 。
垂面 垂直于 xy 平面， 可以平行于 xz 平面 或 yz 平面 。 我们可以让 两个垂面 一个 平行于 xz 平面， 一个 平行于 yz 平面， 此时， 二元函数极值定理 可以写成 偏导数 的 形式 ：
对于 二元函数 z f ( x, y ) ， 若 ( X, Y ) 处 的 偏导数 z / x 0 且 z / y 0 ， 则 ( X, Y ) 处 是 曲面 的 极值点 。
也可以 严格一点 表达， 对于 二元函数 z f ( x, y ) ， 当 x X， y Y 时， 若 偏导数 z / x 0 且 z / y 0 ， 则 ( X, Y, z ) 是 极值点 。
嗯 …… 看来 偏导数 还是 有点用的 。
进一步， 可以推想， 对于 n 元函数， 极值条件 和 上述 的 二元函数 的 情形 也是 类似 的， 可以 表达为 ：
对于 n 元函数， y f ( x1, x2, x3, …… , xn ) ， 若 在 ( X1, X2, X3, …… , Xn ) 处， 满足 以下 方程组 ：
y / x1 0
y / x2 0
y / x3 0
……
y / xn 0
则 ( X1, X2, X3, …… , Xn ) 处 是 y 的 极值点 。
这 称为 n 元函数极值定理 。
应该指出， 满足 二元函数极值定理 和 n 元函数极值定理 的 点 不一定 是 极值点， 也有可能是 驻点 （又称为平稳点、稳定点或临界点）， 可以参考 一元函数 驻点（又称为平稳点、稳定点或临界点） 的 概念 。
可以 用 一个 图 简单 的 看一下 一元函数 的 极值点 和 驻点 ：
三维曲面 和 高维曲面 上 的 驻点 的 情形 比 二维曲线（一元函数） 的 驻点 更复杂一些 。 可以把 z sin x sin y 的 曲面 画出来 看看 。