高一数学恒成立问题方法题型
初中恒成立问题的规律总结？
初中恒成立问题的规律总结？
一、构建函数
构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。
1、构建一次函数
众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。
例1：若x∈（-2，2），不等式kx 3k 1＞0恒成立，求实数k的取值范围。
解：构建函数f（x） kx 3k 1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。若k0，则f（x）1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，
解之得k∈（- ， ∞）。
例2：对m≤2的一切实数m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范围。
解：原问题等价于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，设f（m）（x -1）m-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（m）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。
（1）当x -10时，x±1。
当x1时，f（m）＜0恒成立；当x-1时，f（m）＜0不成立。
（2） 当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（m）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜ ；综上，所求的x∈（ ）。
2、构建二次函数
二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。
例3：若x≥0，lg（ax 2x 1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。
解：构造函数g（x） ax 2x 1，则原问题等价于：当x≥0时，g（x）恒大于0。
若a0且x≥0，则g（x） 2x 1＞0恒成立；
若a≠0，则g（x）为二次函数，当a＜0时，显然当x≥0时不能使g（x）恒大于0，仅当a＞0时，要使当x≥0时，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0
∴a的取值范围为［0， ∞）。
3、构建形如f（x）ax 的函数
通过换元、变形，将原问题转化为形如f（x）ax 的函数的最值问题，再合理利用该函数的单调性等性质来解题，常要用到如下结论：
（1）f（x）ax 为奇函数，（2）当a＞0，b＞0时，f（x）在0， 上递减，在 ， ∞上递增。
例4：若不等式x -5x-6＜a（x-4）对于x∈［-1，1］恒成立，求a的取值范围。
解：由x∈［-1，1］知：x-4＜0，则原问题等价于：当x∈［-1，1］时， ＞a恒成立，即（x-4）- 3＞a，令tx-4，则原问题又等价于：当t∈［-5，-3］时，t- 3＞a恒成立，构建函数f（t） t- ，在t∈［-5，-3］上单调递增，∴0≤3 f（t） ≤ ，要使3 （t- ）＞a恒成立，只要a＜0即可。
二、分离参数
运用不等式的相关知识不难推出如下结论：
若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＞g（a）恒成立，则f （x）＞g（a），若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＜g（a）恒成立，则f （x）＜g（a）。
例5：若不等式|x-3|-|x 1|＜a在（-∞， ∞）内恒成立，求a的取值范围。
解：构造函数f（x）|x-3|-|x 1|，则a必须大于f（x）的最大值，由f（x）-4，x≥32-2x，-1＜x＜34，x≤-1知，f （x）4，故a的取值范围为（4， ∞）。
三、特殊赋值
取特殊值的方法，对做选择题很有效，在恒成立问题上也不失为一个好方法。
例7：已知实数a，b变化时，直线l ：（2a b）x （a b）y （a-b）0恒过定点
解：∵直线l 恒过定点，
故令a1，b1，得3x 2y0
a0，b1，得x y-10
∴3x 2y0x y-10
解之得：x-2y3，将（-2，3）代入l ，经检验，点恒满足方程（2a b）x （a b）y （a-b）0。
不等式恒成立解题口诀？
恒成立与有解问题的解决策略大致分四类：
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形，心中有‘数”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用。