最短路径问题8种类型
解决椭圆问题有哪些方法？
解决椭圆问题有哪些方法？
问题：
椭圆是平面上到给定两点的距离之和为定值的点的集合。那两个定点就叫做椭圆的焦点。椭圆有一个神奇的性质：选定椭圆上的任意一点P，把它和两个焦点A、B相连，则PA和PB与椭圆在P点处的切线有相同的夹角。换句话说，PA和PB与法线的夹角相等，即入射角等于反射角。
举例：
假如有一个餐厅是椭圆形的，你的位置恰好位于椭圆的一个焦点上。这时你突然听到不知哪里传出的一男一女谈情说爱的声音，其肉麻程度不堪入耳，并且声音格外清晰。不用怕，这是因为那对男女正好坐在另一个焦点上，他们谈话的声音再小你也听得见，因为这些声音经过房间墙壁的反射后全汇聚到你这里来了。
此题的数学解并不容易，你可以用解析几何证明这一结论，不过其复杂程度令人望而生畏。
但是他的物理解非常简单，初中生都可以懂。最神奇的是，你可以从光学
和力学
两个角度证明他。
光学解：
用Fermat原理（光总是沿着所花时间最短的路径传播）来解释。我们需要证明这样一个几何命题，椭圆上一点P与焦点A、B的连线到过P点的切线的夹角相等。把过P点的切线作出来后，我们可以一眼看出这个论断是正确的：从点A出发的光线经切线反射后过点B，则反射点一定就是点P，因为切线上所有其他的点P都在椭圆外，折线A-P-B都比A-P-B长。
力学解：
我们在两个焦点间连接一条长度为2a的绳子，绳子上挂一个重物。注意到重物是挂在绳子上的，绳结处P是可以活动的。显然，P点的轨迹形成了一个椭圆。重物有不断下落的趋势，此时重力势能转化为动能；当整个力学系统静止时，重力势能达到最小，因此最终绳结P应该位于椭圆的最低点，该点处的切线正好是一条水平线。此时绳结P受到了三个力：重物M所产生的垂直向下的力，以及左右两边的绳子的拉力。由于物体保持平衡，两个拉力的合力必须竖直向上才行。但绳子内部的张力处处相等，两个方向上的拉力大小应该一样；如果它们的合力竖直向上，那么这两个力的方向与竖直方向的夹角必然相同。于是我们得到了和上面的讨论相同的结论：椭圆上的点与两焦点的连线到法线的夹角相等。
以上引自：物理方法解决数学问题
这个pdf的内容也不错：_media/d281/28107.pdf
另外：
哪些物理问题有经典的生物证明？
什么是饮马问题？
饮马问题：在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？提起路线最短的问题，大家知道：连结两点之间所有线中，最短的是线段。这个题中马走的是一条折线。这又该怎么办呢？