12阶循环群的生成元是多少
证明阶为素数的群必是循环群？
证明阶为素数的群必是循环群？
设群（G，*）的阶是素数p，a不是G的单位元，若a的阶是m，则m1，H{ar | r属于Z}是关于*的一个m阶循环子群，又m是p的因数，但素数p只有p 和1，m又不等于1，故mp，所以（G, *）是一个循环群
设G是6阶循环群，则G的生成元有____________个？
子群的阶是群的阶的因子，6的因子有4个：1,2,3,6，所以子群有4个。生成元不一定唯一，这里，a，a^3，a^5都是生成元。
n阶循环群有几个生成元？
设有限阶循环群阶数为n,生成元个数等于φ(n)，这里φ是欧拉函数。
共轭子群的性质及应用？
性质主要有二：
1、它的所有左右陪集均对应相等；（正规子群的定义）
2、它是商群的单位元。其中商群的元素是不变子群及其所有陪集。（商群的定义）
说等价其实不太恰当.
因为这里的正规子群列是比较随意的,
即便G可解, 并要求G_i/G_{i 1}都是Abel群,
也不保证G_i/G_{i 1}是素数阶循环群.
最简单的例子如G是一个非循环群的Abel群, 可取G_1 G, G_2 {1}.
较为确切的刻画应该是: 存在正规子群列, 使G_i/G_{i 1}都是素数阶循环群.
因为循环群都是Abel群, 所以充分性是显然的.
而必要性是由于有限Abel群存在正规子群列, 使商群为素数阶循环群(有限Abel群结构定理保证).
所以可以对可解群的正规子群列进行加细, 使各商群都是素数阶循环群.
更直接一点, 可以考虑G的合成列:
即一个正规子群列, 使各商群均为非平凡的单群.
不计顺序, 则这些商群的同构类与合成列的选取无关, 称为G的合成因子.
G可解当且仅当其合成因子都是素数阶循环群.
什么是生成元集合？
在数学中，表达式生成元、生成、由……生成、生成集合（generator, generate, generated by 与 generating set）可有许多紧密相关的技术性含义。
生成元集合
定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；我们也说，G是由元a生成的，并且用符号
G（a）
来表示。a叫做G的一个生成元