罗尔中值定理证明方程根的个数 罗尔定理与实根的关系？

罗尔中值定理证明方程根的个数

罗尔定理与实根的关系？

罗尔定理与实根的关系？

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f(ξ)0。
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用罗尔中值定理证明：方程3
在 (0,1) 内有实根。
证明： 设
则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，
，所以由罗尔中值定理，至少存在一点
，使得
，所以
，所以ξ是方程
在 (0,1) 内的一个实根。
结论得证。

为什么罗尔定理可以证明拉格朗日中值定理？

罗尔定理可知。
fafb时，存在某点e，使f′e0。
开始证明拉格朗日。
假设一函数fx。
目标：证明fb-faf′e(b-a)，即拉格朗日。
假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。
这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足FbFa，且一定存在这个a和b。
此时就有罗尔定理的前提了。
于是得出有一个e，能让F′e0(罗尔定理)
即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，
上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。
变成f′e-(fb-fa)/(b-a)0→
f′e(fb-fa)/(b-a)→
f′e(b-a)(fb-fa)。
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证明过程
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 Mm，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 Mgtm，则因为 f(a)f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f#39(ξ)0。
另证：若 Mgtm ，不妨设f(ξ)M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f#39(ξ )lt0，f#39(ξ-)gt0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
几何意义
若连续曲线yf(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。