矩阵a的秩与a的伴随矩阵的秩
a的秩等于a乘a的转置的秩证明？
a的秩等于a乘a的转置的秩证明？
相等。
A的秩
A的行秩
A的列秩
A^T
是
A
的行列互换，所以
r(A)
r(A^T)。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为
rk(A)
或
rank A。
m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。
在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。
因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。
扩展资料：
由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
引理
设矩阵A(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
定理
矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理
初等变换不改变矩阵的秩。
定理
矩阵的乘积的秩Rabmin{Ra,Rb};
当r(A)n-2时，最高阶非零子式的阶数n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)n-1时，最高阶非零子式的阶数n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得
这里的
Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
a的伴随矩阵的秩等于多少？
A的秩小于n-1时，A*的秩为0，A的秩等于n-1时，A*的秩为1。
（1）当r(A)n时，|A|≠0,所以|A*|≠0，所以r(A*)n；
（2) 当r(A)n-1时，|A|0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0（秩的定义），所以r(A*)大于等于1（A*的定义）；为了证明r(A*)1，下面证明 r(A*) 小于等于1。
定义
参见：子式和余子式、余因子矩阵和转置矩阵
设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n? 1)×(n? 1)矩阵的行列式。
定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。